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$\frac{d}{dx}\left(x^x\right)$

Solução passo a passo

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Resposta final para o problema

$\left(\ln\left(x\right)+1\right)x^x$
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Solução explicada passo a passo

Como devo resolver esse problema?

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  • Encontrando a derivada com a regra do quociente
  • Calcule a derivada usando diferenciação logarítmica
  • Encontre a derivada
  • Integrar por frações parciais
  • Produto de Binômios com Termo Comum
  • Método FOIL
  • Integrar por mudança de variável
  • Carregue mais...
Não consegue encontrar um método? Diga-nos para que possamos adicioná-lo.
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Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(a^b\right)$$=y=a^b$, onde $d/dx=\frac{d}{dx}$, $a=x$, $b=x$, $a^b=x^x$ e $d/dx?a^b=\frac{d}{dx}\left(x^x\right)$

$y=x^x$
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Aplicamos a regra: $y=a^b$$\to \ln\left(y\right)=\ln\left(a^b\right)$, onde $a=x$ e $b=x$

$\ln\left(y\right)=\ln\left(x^x\right)$
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Aplicamos a regra: $\ln\left(x^a\right)$$=a\ln\left(x\right)$, onde $a=x$

$\ln\left(y\right)=x\ln\left(x\right)$
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Aplicamos a regra: $\ln\left(y\right)=x$$\to \frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $x=x\ln\left(x\right)$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\ln\left(x\right)\right)$
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Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(ab\right)$$=\frac{d}{dx}\left(a\right)b+a\frac{d}{dx}\left(b\right)$, onde $d/dx?ab=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
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Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$
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Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$

$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\ln\left(x\right)+x\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
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Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$, onde $x=y$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln\left(x\right)+x\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
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Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln\left(x\right)+x\frac{1}{x}$
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Aplicamos a regra: $a\frac{1}{x}$$=\frac{a}{x}$, onde $a=x$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln\left(x\right)+\frac{x}{x}$
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Aplicamos a regra: $\frac{a}{a}$$=1$, onde $a/a=\frac{y^{\prime}}{y}$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln\left(x\right)+1$
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Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, onde $a=y^{\prime}$, $b=y$ e $c=\ln\left(x\right)+1$

$y^{\prime}=\left(\ln\left(x\right)+1\right)y$
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Substitua o valor de $y$ pelo valor da função original: $x^x$

$y^{\prime}=\left(\ln\left(x\right)+1\right)x^x$
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A derivada da função é então

$\left(\ln\left(x\right)+1\right)x^x$

Resposta final para o problema

$\left(\ln\left(x\right)+1\right)x^x$

Explore diferentes maneiras de resolver este problema

Resolver um exercício matemático utilizando diferentes métodos é importante porque melhora a compreensão, incentiva o pensamento crítico, permite múltiplas soluções e desenvolve diferentes estratégias de resolução de problemas. ler mais

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Gráfico de funções

Gráfico de: $\left(\ln\left(x\right)+1\right)x^x$

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