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$derivdef\left(\ln\left(x\right)\right)$

Solução passo a passo

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Resposta final para o problema

$\frac{1}{x}$
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Solução explicada passo a passo

Como devo resolver esse problema?

  • Escolha uma opção
  • Integrar por frações parciais
  • Produto de Binômios com Termo Comum
  • Método FOIL
  • Integrar por mudança de variável
  • Integrar por partes
  • Integrar pelo método tabular
  • Integrar por substituição trigonométrica
  • Integração por Substituição de Weierstrass
  • Demonstrar do LHS (lado esquerdo)
  • Carregue mais...
Não consegue encontrar um método? Diga-nos para que possamos adicioná-lo.
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Aplicamos a regra: $derivdef\left(x\right)$$=\lim_{h\to0}\left(\frac{eval\left(x,var+h\right)-x}{h}\right)$, onde $derivdefx=derivdef\left(\ln\left(x\right)\right)$ e $x=\ln\left(x\right)$

$\lim_{h\to0}\left(\frac{\ln\left(x+h\right)-\ln\left(x\right)}{h}\right)$
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Aplicamos a regra: $\ln\left(a\right)-\ln\left(b\right)$$=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$, onde $a=x+h$ e $b=x$

$\lim_{h\to0}\left(\frac{\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}\right)$
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Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{1}{b}a$, onde $a=\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)$ e $b=h$

$\lim_{h\to0}\left(\frac{1}{h}\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)\right)$
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Aplicamos a regra: $a\ln\left(x\right)$$=\ln\left(x^a\right)$, onde $a=\frac{1}{h}$ e $x=\frac{x+h}{x}$

$\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(\frac{x+h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$
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Expanda a fração $\left(\frac{x+h}{x}\right)$ em $2$ frações mais simples com $x$ como denominador comum

$\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(\frac{x}{x}+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$
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Simplifique as frações resultantes

$\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$
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Aplicamos a regra: $\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$$=\lim_{n\to\infty }\left(\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{x}}\right)\right)$, onde $h/x=\frac{h}{x}$, $1+h/x=1+\frac{h}{x}$, $h->0=h\to0$ e $1/h=\frac{1}{h}$

$\lim_{n\to\infty }\left(\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{x}}\right)\right)$
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Aplicamos a regra: $a^{\frac{b}{c}}$$=\left(a^b\right)^{\frac{1}{c}}$, onde $a=1+\frac{1}{n}$, $b=n$, $c=x$ e $b/c=\frac{n}{x}$

$\lim_{n\to\infty }\left(\ln\left(\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac{1}{x}}\right)\right)$
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Aplicamos a regra: $\ln\left(x^a\right)$$=a\ln\left(x\right)$, onde $a=\frac{1}{x}$ e $x=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

$\lim_{n\to\infty }\left(\frac{1}{x}\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\right)$
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Aplicamos a regra: $\lim_{x\to c}\left(ab\right)$$=a\lim_{x\to c}\left(b\right)$, onde $a=\frac{1}{x}$, $b=\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)$, $c=\infty $ e $x=n$

$\frac{1}{x}\lim_{n\to\infty }\left(\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\right)$
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Aplicamos a regra: $\lim_{x\to c}\left(\ln\left(a\right)\right)$$=\ln\left(\lim_{x\to c}\left(a\right)\right)$, onde $a=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$, $c=\infty $ e $x=n$

$\frac{1}{x}\ln\left(\lim_{n\to\infty }\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\right)$
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Aplicamos a regra: $\lim_{x\to\infty }\left(\left(1+\frac{a}{x}\right)^x\right)$$=e^a$, onde $a=1$ e $x=n$

$\ln\left(e^1\right)\frac{1}{x}$
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Aplicamos a regra: $x^1$$=x$, onde $x=e$

$\ln\left(e\right)\frac{1}{x}$
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Aplicamos a regra: $\ln\left(x\right)$$=logf\left(x,e\right)$, onde $x=e$

$\frac{1}{x}$

Resposta final para o problema

$\frac{1}{x}$

Explore diferentes maneiras de resolver este problema

Resolver um exercício matemático utilizando diferentes métodos é importante porque melhora a compreensão, incentiva o pensamento crítico, permite múltiplas soluções e desenvolve diferentes estratégias de resolução de problemas. ler mais

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Gráfico de funções

Gráfico de: $\frac{1}{x}$

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Como melhorar sua resposta:

Conceito Principal: Definição de Derivada

Fórmulas Usadas

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