Podemos resolver a integral $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ aplicando o método de substituição de Weierstrass (também conhecido como substituição universal ou substituição tangente de meio ângulo) que converte uma integral de funções trigonométricas em uma função racional de $t$ usando substituição

Portanto

Substituindo na integral original, obtemos

Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=1+t^{2}$, $b=\left(1-t^{2}\right)t$ e $c=2$

Podemos resolver a integral $\int\frac{t}{1-t^{2}}dt$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $1-t^{2}$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

Resolvendo $dt$ da equação anterior

Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos

Substitua $t$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$