Resposta final para o problema
Solução explicada passo a passo
Especifica o método de resolução
Podemos resolver a integral $\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$ aplicando o método de substituição de Weierstrass (também conhecido como substituição universal ou substituição tangente de meio ângulo) que converte uma integral de funções trigonométricas em uma função racional de $t$ usando substituição
Portanto
Substituindo na integral original, obtemos
Simplificando
Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=1+t^{2}$, $b=\left(1-t^{2}\right)t$ e $c=2$
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}$ em $2$ frações mais simples
Precisamos encontrar os valores dos coeficientes $A, B, C$ para que a igualdade seja válida. O primeiro passo é se livrar do denominador multiplicando ambos os lados da equação da etapa anterior por $\left(1-t^{2}\right)t$
Multiplicando polinômios
Simplificando
Atribuindo valores a $t$ obtemos o seguinte sistema de equações
Prosseguimos para resolver o sistema de equações lineares
Reescrevemos os coeficientes em forma de matriz
Reduzimos a matriz original a uma matriz identidade usando o método de eliminação de Gauss-Jordan
A integral de $\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}$ na forma decomposta é equivalente a
Simplificamos a expressão dentro da integral
Podemos resolver a integral $\int\frac{t}{1-t^{2}}dt$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $1-t^{2}$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Agora, para reescrever $dt$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Resolvendo $dt$ da equação anterior
Substituímos $u$ e $dt$ na integral e depois simplificamos
A integral $-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$ resulta em: $-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^{2}\right)$
A integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt$ resulta em: $\frac{1}{2}\ln\left(t\right)$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Substitua $t$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$