Conceitos

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f(x)=1/(2sin(x)cos(x))−6−5−4−3−2−10123456−3-2.5−2-1.5−1-0.500.511.522.53xy

Exercício

∫12sin(x)cos(x)dx\int\frac{1}{2sin\left(x\right)cos\left(x\right)}dx

Solução explicada passo a passo

1

Podemos resolver a integral ∫12sin⁡(x)cos⁡(x)dx\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx aplicando o método de substituição de Weierstrass (também conhecido como substituição universal ou substituição tangente de meio ângulo) que converte uma integral de funções trigonométricas em uma função racional de tt usando substituição

t=tan⁡(x2)t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)
2

Portanto

sin⁡x=2t1+t2, cos⁡x=1−t21+t2, e  dx=21+t2dt\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{e}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt
3

Substituindo na integral original, obtemos

∫12(2t1+t2)(1−t21+t2)21+t2dt\int\frac{1}{2\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}dt
4

Simplificando

∫1+t22(1−t2)tdt\int\frac{1+t^{2}}{2\left(1-t^{2}\right)t}dt
5

Aplicamos a regra: ∫abcdx\int\frac{a}{bc}dx=1c∫abdx=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx, onde a=1+t2a=1+t^{2}, b=(1−t2)tb=\left(1-t^{2}\right)t e c=2c=2

12∫1+t2(1−t2)tdt\frac{1}{2}\int\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}dt
6

Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração 1+t2(1−t2)t\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t} em 22 frações mais simples

2t1−t2+1t\frac{2t}{1-t^{2}}+\frac{1}{t}
7

Simplificamos a expressão

∫t1−t2dt+12∫1tdt\int\frac{t}{1-t^{2}}dt+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt
8

Podemos resolver a integral ∫t1−t2dt\int\frac{t}{1-t^{2}}dt aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de uu), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que 1−t21-t^{2} é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável uu e atribuir a ela o candidato

Gostou deste diagrama? Experimente nosso gerador de diagramas
u=1−t2u=1-t^{2}
9

Agora, para reescrever dtdt em termos de dudu, precisamos encontrar a derivada de uu. Portanto, precisamos calcular dudu, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

du=−2tdtdu=-2tdt
10

Resolvendo dtdt da equação anterior

du−2t=dt\frac{du}{-2t}=dt
11

Substituímos uu e dtdt na integral e depois simplificamos

−12∫1udu+12∫1tdt-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du+\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt
12

A integral −12∫1udu-\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du resulta em: −12ln⁡(1−t2)-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^{2}\right)

−12ln⁡(1−t2)-\frac{1}{2}\ln\left(1-t^{2}\right)
13

A integral 12∫1tdt\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}dt resulta em: 12ln⁡(t)\frac{1}{2}\ln\left(t\right)

12ln⁡(t)\frac{1}{2}\ln\left(t\right)
14

Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos

−12ln⁡∣1−t2∣+12ln⁡∣t∣-\frac{1}{2}\ln\left|1-t^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|t\right|
15

Substitua tt pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: tan⁡(x2)\tan\left(\frac{x}{2}\right)

−12ln⁡∣1−tan⁡(x2)2∣+12ln⁡∣tan⁡(x2)∣-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|
16

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração CC

−12ln⁡∣1−tan⁡(x2)2∣+12ln⁡∣tan⁡(x2)∣+C0-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C_0

Resposta final para o problema

−12ln⁡∣1−tan⁡(x2)2∣+12ln⁡∣tan⁡(x2)∣+C0-\frac{1}{2}\ln\left|1-\tan\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C_0

Como devo resolver esse problema?

  • Integração por Substituição de Weierstrass
  • Integrar por frações parciais
  • Integrar por mudança de variável
  • Integrar por partes
  • Integrar pelo método tabular
  • Integrar por substituição trigonométrica
  • Integrar com identidades trigonométricas
  • Integrar usando integrais básicas
  • Produto de Binômios com Termo Comum
  • Método FOIL
  • Carregue mais...
Não consegue encontrar um método? Diga-nos para que possamos adicioná-lo.

Outros exercícios resolvidos

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0.58(3)+0.41(6)0.58\left(3\right)+0.41\left(6\right)

x+20=50x+20=50

643x6−216z964 ^ { 3 } x ^ { 6 } - 216 z ^ { 9 }
∫12sin(x)cos(x) dx
Modo simbolico
Modo texto
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×
◻/◻
/
÷
◻2
◻◻
√◻
√

◻√◻
◻√
∞
e
π
ln
log
log◻
lim
d/dx
D□x
∫
∫◻
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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