$\int\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}dx$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a=1$, $b=2\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{2\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)}$, $f=1+t^{2}$, $c/f=\frac{2}{1+t^{2}}$ e $a/bc/f=\frac{1}{2\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)}\frac{2}{1+t^{2}}$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, onde $a=2$, $b=2t$, $c=1+t^{2}$, $a/b/c=\frac{2}{2\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}$ e $b/c=\frac{2t}{1+t^{2}}$

Aplicamos a regra: $\frac{ab}{c}$$=\frac{a}{c}b$, onde $ab=2\left(1+t^{2}\right)$, $a=2$, $b=1+t^{2}$, $c=2$ e $ab/c=\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{2\cdot 2t\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=2t\left(1+t^{2}\right)$, $b=1-t^{2}$ e $c=1+t^{2}$

Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}$ em $2$ frações mais simples

Precisamos encontrar os valores dos coeficientes $A, B, C$ para que a igualdade seja válida. O primeiro passo é se livrar do denominador multiplicando ambos os lados da equação da etapa anterior por $\left(1-t^{2}\right)t$

Multiplicando polinômios

Simplificando

Atribuindo valores a $t$ obtemos o seguinte sistema de equações

Prosseguimos para resolver o sistema de equações lineares

Reescrevemos os coeficientes em forma de matriz

Reduzimos a matriz original a uma matriz identidade usando o método de eliminação de Gauss-Jordan

A integral de $\frac{1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)t}$ na forma decomposta é equivalente a

Expanda a integral $\int\left(\frac{2t}{1-t^{2}}+\frac{1}{t}\right)dt$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente

Aplicamos a regra: $\int\frac{ab}{c}dx$$=a\int\frac{b}{c}dx$, onde $a=2$, $b=t$ e $c=1-t^{2}$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=2$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=2\left(\frac{1}{2}\right)\int\frac{t}{1-t^{2}}dt$

Diferencie ambos os lados da equação $u=1-t^{2}$

Encontre a derivada

A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(cx\right)$$=c\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$, onde $a=2$ e $x=t$

Aplicamos a regra: $\frac{\frac{a}{b}}{a}$$=\frac{1}{b}$, onde $a=t$, $b=u$, $a/b=\frac{t}{u}$ e $a/b/a=\frac{\frac{t}{u}}{-2t}$

Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=1$, $b=u$ e $c=-2$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=u$ e $n=1$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $1-t^{2}$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=t$ e $n=1$