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Calculadora de Integrais de Funções Logarítmicas

Resolva seus problemas de matemática com nossa calculadora de Integrais de Funções Logarítmicas passo a passo. Melhore suas habilidades matemáticas com nossa extensa lista de problemas difíceis. Encontre todas as nossas calculadoras aqui.

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asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de integrais de funções logarítmicas. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:

$\int\ln^2\left(x\right).dx$
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Podemos resolver a integral $\int\ln\left(2x\right)dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

$u=2x$

Diferencie ambos os lados da equação $u=2x$

$du=\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

Encontre a derivada

$\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $n=2$

$2\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

$2$
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Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=2dx$

Aplicamos a regra: $a=b$$\to b=a$, onde $a=du$ e $b=2dx$

$2dx=du$

Aplicamos a regra: $ax=b$$\to x=\frac{b}{a}$, onde $a=2$, $b=du$ e $x=dx$

$dx=\frac{du}{2}$
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Resolvendo $dx$ da equação anterior

$dx=\frac{du}{2}$
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Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

$\int\frac{\ln\left(u\right)}{2}du$
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Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=2$ e $x=\ln\left(u\right)$

$\frac{1}{2}\int\ln\left(u\right)du$
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Aplicamos a regra: $\int\ln\left(x\right)dx$$=x\ln\left(x\right)-x+C$, onde $x=u$

$\frac{1}{2}\left(u\ln\left|u\right|-u\right)$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$

$\frac{1}{2}\left(2x\ln\left|u\right|- 2x\right)$

Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=- 2x$, $a=-1$ e $b=2$

$\frac{1}{2}\left(2x\ln\left|u\right|-2x\right)$
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Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$

$\frac{1}{2}\left(2x\ln\left|u\right|- 2x\right)$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$

$\frac{1}{2}\left(2x\ln\left|2x\right|-2x\right)$
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Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$

$\frac{1}{2}\left(2x\ln\left|2x\right|-2x\right)$
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Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$\frac{1}{2}\left(2x\ln\left|2x\right|-2x\right)+C_0$

Multiplique o termo $\frac{1}{2}$ por cada termo do polinômio $\left(2x\ln\left(2x\right)-2x\right)$

$2\cdot \frac{1}{2}x\ln\left(2x\right)-2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)x+C_0$

Simplificando

$\frac{2}{2}x\ln\left(2x\right)-\frac{2}{2}x+C_0$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=2$, $b=2$ e $a/b=\frac{2}{2}$

$x\ln\left|2x\right|-\frac{2}{2}x+C_0$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=\frac{a}{b}$, onde $a=-2$, $b=2$ e $a/b=-\frac{2}{2}$

$x\ln\left|2x\right|-x+C_0$
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Expanda e simplifique

$x\ln\left|2x\right|-x+C_0$

Resposta final para o problema

$x\ln\left|2x\right|-x+C_0$

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