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Calculadora de Integrais de Funções Logarítmicas

Resolva seus problemas de matemática com nossa calculadora de Integrais de Funções Logarítmicas passo a passo. Melhore suas habilidades matemáticas com nossa extensa lista de problemas difíceis. Encontre todas as nossas calculadoras aqui.

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×
◻/◻
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π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

1

Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de integrais de funções logarítmicas. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:

$\int\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)dx$
2

Podemos resolver a integral $\int\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)dx$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\right)$

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)$

A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\left(\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{d}{dx}\left(\sqrt{1+x}\right)\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $a=\frac{1}{2}$ e $x=1+x$

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\left(\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(1+x\right)\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x^a\right)$$=ax^{\left(a-1\right)}$

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(1+x\right)\right)$

A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{d}{dx}\left(1\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=1$

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}$, $b=1$ e $c=\sqrt{x}+\sqrt{1+x}$

$\frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}$

Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$

$\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}$

O mínimo múltiplo comum (MMC) de uma soma de frações algébricas consiste no produto dos fatores comuns com o maior expoente e dos fatores não comuns

$M.M.C.=2\sqrt{x}\sqrt{1+x}$

Uma vez obtido o mínimo múltiplo comum (MMC), colocamos-o como denominador de cada fração, e no numerador de cada fração somamos os fatores que precisamos para completar

$\frac{\sqrt{1+x}}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}}+\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}}$

Combine e simplifique todos os termos da mesma fração com $2\sqrt{x}\sqrt{1+x}$ como denominador comum

$\frac{\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}$

Aplicamos a regra: $\frac{\frac{a}{b}}{c}$$=\frac{a}{bc}$, onde $a=\sqrt{1+x}+\sqrt{x}$, $b=2\sqrt{x}\sqrt{1+x}$, $c=\sqrt{x}+\sqrt{1+x}$, $a/b/c=\frac{\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}$ e $a/b=\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}}$

$\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)}$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{a}$$=1$, onde $a/a=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}}$

$\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}}$
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Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)}\\ \displaystyle{du=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1+x}}dx}\end{matrix}$
4

A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=1dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int 1dx}\end{matrix}$
5

Calcule a integral para encontrar $v$

$v=\int1dx$
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Aplicamos a regra: $\int cdx$$=cvar+C$, onde $c=1$

$x$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{a^n}$$=a^{\left(1-n\right)}$, onde $a=x$ e $n=\frac{1}{2}$

$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)-\int\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x}}dx$
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Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral

$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)-\int\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x}}dx$

Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=\sqrt{x}$, $b=\sqrt{1+x}$ e $c=2$

$- \frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}dx$

Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=- \frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}dx$, $a=-1$ e $b=\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}dx$

Podemos resolver a integral $\int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $\sqrt{1+x}$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

$u=\sqrt{1+x}$

Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}dx$

Resolvendo $dx$ da equação anterior

$\frac{du}{\frac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}}=dx$

Reescreva $x$ em termos de $u$

$x=u^{2}-1$

Substituímos $u$, $dx$ e $x$ na integral e depois simplificamos

$-\frac{1}{2}\int2\sqrt{u^{2}-1}du$

Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=2$ e $x=\sqrt{u^{2}-1}$

$-\int\sqrt{u^{2}-1}du$

Podemos resolver a integral $-\int\sqrt{u^{2}-1}du$ usando o método de integração de substituição trigonométrica. Tomamos a mudança de variável

$u=\sec\left(\theta \right)$

Agora, para reescrever $d\theta$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta$

Substituindo na integral original, obtemos

$-\int\sqrt{\sec\left(\theta \right)^{2}-1}\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta$

Aplicamos a identidade trigonométrica: $\sec\left(\theta \right)^2-1$$=\tan\left(\theta \right)^2$, onde $x=\theta $

$-\int\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2}\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta$

Simplifique $\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2}$ aplicando a potência de uma potência: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. Na expressão, $m$ é igual a $2$ e $n$ é igual a $0.5$

$-\int\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta$

Aplicamos a regra: $x\cdot x$$=x^2$, onde $x=\tan\left(\theta \right)$

$-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$

Podemos identificar que a integral tem a forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Se a potência $n$ for ímpar e $m$ for par, então devemos expressar todas as funções em termos de secantes, expandir e integrar separadamente

$-\int\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\sec\left(\theta \right)d\theta$

Multiplique o termo $\sec\left(\theta \right)$ por cada termo do polinômio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$

$-\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$

Expanda a integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente

$-\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta-\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$

Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=-1$ e $x=\sec\left(\theta \right)$

$-\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+1\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

$-\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, onde $x=\theta $

$-\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$

$-\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+\ln\left(u+\sqrt{u^{2}-1}\right)$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\sqrt{1+x}$

$-\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x-1}\right)$

Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=1$, $b=-1$ e $a+b=1+x-1$

$-\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta+\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)^ndx$$=\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, onde $dx=d\theta$, $x=\theta $ e $n=3$

$-\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta+\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

Podemos resolver a integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sec\left(\theta \right)}\\ \displaystyle{du=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta}\end{matrix}$

A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sec\left(\theta \right)^2d\theta}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sec\left(\theta \right)^2d\theta}\end{matrix}$

Calcule a integral para encontrar $v$

$v=\int\sec\left(\theta \right)^2d\theta$

Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)^2dx$$=\tan\left(\theta \right)+C$, onde $x=\theta $

$\tan\left(\theta \right)$

Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral

$-\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)^2d\theta\right)+\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

Multiplique o termo $-1$ por cada termo do polinômio $\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)^2d\theta\right)$

$-\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)^2d\theta+\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$

$-\sqrt{u^{2}-1}u+\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)^2d\theta+\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\sqrt{1+x}$

$-\sqrt{1+x-1}\sqrt{1+x}+\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)^2d\theta+\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=1$, $b=-1$ e $a+b=1+x-1$

$-\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)^2d\theta+\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)^2dx$$=\int\sec\left(\theta \right)^3dx-\int\sec\left(\theta \right)dx$, onde $x=\theta $

$-\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\int\sec\left(\theta \right)d\theta+\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, onde $x=\theta $

$-\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$

$-\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\ln\left(u+\sqrt{u^{2}-1}\right)+\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\sqrt{1+x}$

$-\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x-1}\right)+\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=1$, $b=-1$ e $a+b=1+x-1$

$-\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)+\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

Reduzindo termos semelhantes $-\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$ e $\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

$-\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$

Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)^ndx$$=\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{\left(n-1\right)}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec\left(\theta \right)^{\left(n-2\right)}dx$, onde $dx=d\theta$, $x=\theta $ e $n=3$

$-\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{3-1}+\frac{3-2}{3-1}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

Simplificamos a expressão dentro da integral

$-\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$

$-\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{\sqrt{u^{2}-1}u}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\sqrt{1+x}$

$-\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{\sqrt{1+x-1}\sqrt{1+x}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=1$, $b=-1$ e $a+b=1+x-1$

$-\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{\sqrt{x}\sqrt{1+x}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

Simplificamos a expressão dentro da integral

$-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

Aplicamos a regra: $\int\sec\left(\theta \right)dx$$=\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)+C$, onde $x=\theta $

$-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$

Expresse a variável $\theta$ em termos da variável original $x$

$-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\ln\left(u+\sqrt{u^{2}-1}\right)$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $\sqrt{1+x}$

$-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x-1}\right)$

Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=1$, $b=-1$ e $a+b=1+x-1$

$-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

Aplicamos a regra: $a^nb^n$$=\left(ab\right)^n$, onde $a=x$, $b=1+x$ e $n=\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}\sqrt{x\left(1+x\right)}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

Aplicamos a regra: $\left(ab\right)^n$$=a^nb^n$, onde $a=x$, $b=1+x$ e $n=\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$
8

A integral $-\int\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x}}dx$ resulta em: $-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$

$-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)$
9

Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos

$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}$
10

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+C_0$

Resposta final para o problema

$x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{1+x}+C_0$

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