👉 Baixe o NerdPal agora! Nosso novo aplicativo de matemática no iOS e Android
  1. calculadoras
  2. Integrais Cíclicas

Calculadora de Integrais Cíclicas

Resolva seus problemas de matemática com nossa calculadora de Integrais Cíclicas passo a passo. Melhore suas habilidades matemáticas com nossa extensa lista de problemas difíceis. Encontre todas as nossas calculadoras aqui.

Go!
Modo simbolico
Modo texto
Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

1

Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de integrais cíclicas. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:

$\int e^{2x}cosxdx$
2

Podemos resolver a integral $\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Aplicamos a identidade trigonométrica: $\frac{d}{dx}\left(\cos\left(\theta \right)\right)$$=-\sin\left(\theta \right)$

$-\sin\left(x\right)$
3

Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\cos\left(x\right)}\\ \displaystyle{du=-\sin\left(x\right)dx}\end{matrix}$
4

A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^{2x}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}dx}\end{matrix}$
5

Calcule a integral para encontrar $v$

$v=\int e^{2x}dx$
6

Podemos resolver a integral $\int e^{2x}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

$u=2x$

Diferencie ambos os lados da equação $u=2x$

$du=\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

Encontre a derivada

$\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $n=2$

$2\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$

$2$
7

Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=2dx$
8

Resolvendo $dx$ da equação anterior

$du=2dx$
9

Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

$\int\frac{e^u}{2}du$
10

Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=2$ e $x=e^u$

$\frac{1}{2}\int e^udu$
11

Aplicamos a regra: $\int e^xdx$$=e^x+C$, onde $x=u$

$\frac{1}{2}e^u$

$\frac{1}{2}e^{2x}$
12

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$

$\frac{1}{2}e^{2x}$

Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=- \frac{1}{2}e^{2x}\sin\left(x\right)$, $a=-1$ e $b=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)-\int-\frac{1}{2}e^{2x}\sin\left(x\right)dx$

Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=-\frac{1}{2}$ e $x=e^{2x}\sin\left(x\right)$

$\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin\left(x\right)dx$
13

Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral

$\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin\left(x\right)dx$

Podemos resolver a integral $\int e^{2x}\sin\left(x\right)dx$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sin\left(x\right)}\\ \displaystyle{du=\cos\left(x\right)dx}\end{matrix}$

A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^{2x}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}dx}\end{matrix}$

Calcule a integral para encontrar $v$

$v=\int e^{2x}dx$

Podemos resolver a integral $\int e^{2x}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

$u=2x$

Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=2dx$

Resolvendo $dx$ da equação anterior

$du=2dx$

Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

$\int\frac{e^u}{2}du$

Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=2$ e $x=e^u$

$\frac{1}{2}\int e^udu$

Aplicamos a regra: $\int e^xdx$$=e^x+C$, onde $x=u$

$\frac{1}{2}e^u$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$

$\frac{1}{2}e^{2x}$

Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\sin\left(x\right)-\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx\right)$

Multiplique o termo $\frac{1}{2}$ por cada termo do polinômio $\left(\frac{1}{2}e^{2x}\sin\left(x\right)-\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx\right)$

$\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)-\frac{1}{4}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx$
14

A integral $\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin\left(x\right)dx$ resulta em: $\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)-\frac{1}{4}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx$

$\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)-\frac{1}{4}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx$
15

Quando a integral que estamos calculando aparece novamente na integração por partes (formou-se um ciclo), ela é resolvida como uma equação. Então o que fazemos é passar a integral repetida para o lado esquerdo da equação, com sinal oposto

$\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx=\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)-\frac{1}{4}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)$
16

Passe a integral cíclica para o lado esquerdo da equação

$\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx+\frac{1}{4}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx=\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)$
17

Adicionando as integrais

$\frac{5}{4}\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx=\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)$
18

Movemos a parte constante $\frac{5}{4}$ dividindo o outro lado da equação

$\int e^{2x}\cos\left(x\right)dx=\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)\right)$
19

A integral nos dá o resultado

$\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)\right)$
20

Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos

$\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)\right)$
21

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$\frac{4}{5}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)\right)+C_0$

Multiplique o termo $\frac{4}{5}$ por cada termo do polinômio $\left(\frac{1}{2}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{4}e^{2x}\sin\left(x\right)\right)$

$\frac{2}{5}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{5}e^{2x}\sin\left(x\right)+C_0$
22

Expanda e simplifique

$\frac{2}{5}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{5}e^{2x}\sin\left(x\right)+C_0$

Resposta final para o problema

$\frac{2}{5}e^{2x}\cos\left(x\right)+\frac{1}{5}e^{2x}\sin\left(x\right)+C_0$

Você tem dificuldades com matemática?

Tenha acesso a milhares de soluções de exercícios passo a passo e elas crescem a cada dia!