Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de equação diferencial linear. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Divida todos os termos da equação diferencial por $x$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{a}$$=1$, onde $a=x$ e $a/a=\frac{x}{x}$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=\frac{dy}{dx}$
Aplicamos a regra: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, onde $a^n/a=\frac{x^3\cos\left(x\right)}{x}$, $a^n=x^3$, $a=x$ e $n=3$
Simplificando
Podemos perceber que a equação diferencial tem a forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, então podemos classificá-la em uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde $P(x)=\frac{-2}{x}$ e $Q(x)=x^{2}\cos\left(x\right)$. Para resolver esta equação diferencial, o primeiro passo é encontrar o fator integrante $\mu(x)$
Calcule a integral
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=-2$
Para encontrar $\mu(x)$, primeiro precisamos calcular $\int P(x)dx$
Aplicamos a regra: $e^{a\ln\left(b\right)}$$=b^a$, onde $a=-2$, $b=x$ e $2.718281828459045=e$
Portanto, o fator integrador $\mu(x)$ é
Aplicamos a regra: $x^mx^n$$=x^{\left(m+n\right)}$, onde $m=2$ e $n=-2$
Aplicamos a regra: $a+b$$=a+b$, onde $a=2$, $b=-2$ e $a+b=2-2$
Aplicamos a regra: $x^0$$=1$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=x^{-2}$, $b=-2y$ e $c=x$
Aplicamos a regra: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, onde $a^n/a=\frac{-2yx^{-2}}{x}$, $a^n=x^{-2}$, $a=x$ e $n=-2$
Agora, multiplicamos todos os termos da equação diferencial pelo fator integrante $\mu(x)$ e verificamos se podemos simplificar
Podemos reconhecer que o lado esquerdo da equação diferencial consiste na derivada do produto de $\mu(x)\cdot y(x)$
Integre ambos os lados da equação diferencial em relação a $dx$
Simplifique o lado esquerdo da equação diferencial
Aplicamos a regra: $\int\cos\left(\theta \right)dx$$=\sin\left(\theta \right)+C$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Resolva a integral $\int\cos\left(x\right)dx$ e substitua o resultado na equação diferencial
Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=y$, $b=1$ e $c=x^{\left|-2\right|}$
Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$, onde $a=y$, $b=1$ e $x=x^{2}$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=y$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{x}$$=\frac{ab}{x}$, onde $a=y$, $b=1$ e $x=x^{2}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, onde $a=y$, $b=x^{2}$ e $c=\sin\left(x\right)+C_0$
Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$
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