Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de equação diferencial linear. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Divida todos os termos da equação diferencial por $x$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{a}$$=1$, onde $a/a=\frac{x^6e^x}{x}$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=\frac{dy}{dx}$
Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=\frac{dy}{dx}$
Aplicamos a regra: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, onde $a^n/a=\frac{x^6e^x}{x}$, $a^n=x^6$, $a=x$ e $n=6$
Simplificando
Podemos perceber que a equação diferencial tem a forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, então podemos classificá-la em uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde $P(x)=\frac{-4}{x}$ e $Q(x)=x^{5}e^x$. Para resolver esta equação diferencial, o primeiro passo é encontrar o fator integrante $\mu(x)$
Calcule a integral
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=-4$
Para encontrar $\mu(x)$, primeiro precisamos calcular $\int P(x)dx$
Aplicamos a regra: $e^{a\ln\left(b\right)}$$=b^a$, onde $a=-4$, $b=x$ e $2.718281828459045=e$
Portanto, o fator integrador $\mu(x)$ é
Aplicamos a regra: $x^mx^n$$=x^{\left(m+n\right)}$, onde $m=5$ e $n=-4$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=x^{-4}$, $b=-4y$ e $c=x$
Aplicamos a regra: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, onde $a^n/a=\frac{-4yx^{-4}}{x}$, $a^n=x^{-4}$, $a=x$ e $n=-4$
Agora, multiplicamos todos os termos da equação diferencial pelo fator integrante $\mu(x)$ e verificamos se podemos simplificar
Podemos reconhecer que o lado esquerdo da equação diferencial consiste na derivada do produto de $\mu(x)\cdot y(x)$
Integre ambos os lados da equação diferencial em relação a $dx$
Simplifique o lado esquerdo da equação diferencial
Podemos resolver a integral $\int xe^xdx$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula
Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$
A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$
Calcule a integral
Aplicamos a regra: $\int e^xdx$$=e^x+C$
Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral
Aplicamos a regra: $\int e^xdx$$=e^x+C$
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
Resolva a integral $\int xe^xdx$ e substitua o resultado na equação diferencial
Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=y$, $b=1$ e $c=x^{\left|-4\right|}$
Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$
Aplicamos a regra: $a\frac{1}{x}$$=\frac{a}{x}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, onde $a=y$, $b=x^{4}$ e $c=e^x\cdot x-e^x+C_0$
Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$
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