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  2. Equação Diferencial Linear

Calculadora de Equação Diferencial Linear

Resolva seus problemas de matemática com nossa calculadora de Equação Diferencial Linear passo a passo. Melhore suas habilidades matemáticas com nossa extensa lista de problemas difíceis. Encontre todas as nossas calculadoras aqui.

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Exemplo

Exercícios Resolvidos

Exercícios Difíceis

1

Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de equação diferencial linear. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:

$\frac{dy}{dx}+2y=x$
2

Podemos perceber que a equação diferencial tem a forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, então podemos classificá-la em uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde $P(x)=2$ e $Q(x)=x$. Para resolver esta equação diferencial, o primeiro passo é encontrar o fator integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$

Calcule a integral

$\int2dx$

Aplicamos a regra: $\int cdx$$=cvar+C$, onde $c=2$

$2x$
3

Para encontrar $\mu(x)$, primeiro precisamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int2dx=2x$
4

Portanto, o fator integrador $\mu(x)$ é

$\mu(x)=e^{2x}$
5

Agora, multiplicamos todos os termos da equação diferencial pelo fator integrante $\mu(x)$ e verificamos se podemos simplificar

$\frac{dy}{dx}e^{2x}+2ye^{2x}=xe^{2x}$
6

Podemos reconhecer que o lado esquerdo da equação diferencial consiste na derivada do produto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right)=xe^{2x}$
7

Integre ambos os lados da equação diferencial em relação a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right)dx=\int xe^{2x}dx$
8

Simplifique o lado esquerdo da equação diferencial

$e^{2x}y=\int xe^{2x}dx$

Podemos resolver a integral $\int xe^{2x}dx$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$

A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^{2x}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}dx}\end{matrix}$

Calcule a integral para encontrar $v$

$v=\int e^{2x}dx$

Podemos resolver a integral $\int e^{2x}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

$u=2x$

Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=2dx$

Resolvendo $dx$ da equação anterior

$dx=\frac{du}{2}$

Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

$\int\frac{e^u}{2}du$

Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=2$ e $x=e^u$

$\frac{1}{2}\int e^udu$

Aplicamos a regra: $\int e^xdx$$=e^x+C$, onde $x=u$

$\frac{1}{2}e^u$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$

$\frac{1}{2}e^{2x}$

Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx$

Podemos resolver a integral $\int e^{2x}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato

$u=2x$

Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior

$du=2dx$

Resolvendo $dx$ da equação anterior

$dx=\frac{du}{2}$

Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int\frac{e^u}{2}du$

Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=2$ e $x=e^u$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int e^udu$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a=-1$, $b=2$, $c=1$, $a/b=-\frac{1}{2}$, $f=2$, $c/f=\frac{1}{2}$ e $a/bc/f=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int e^udu$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}\int e^udu$

Aplicamos a regra: $\int e^xdx$$=e^x+C$, onde $x=u$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^u$

Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$
9

Resolva a integral $\int xe^{2x}dx$ e substitua o resultado na equação diferencial

$e^{2x}y=\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=e^{2x}x$, $b=1$ e $c=2$

$e^{2x}y=\frac{1e^{2x}x}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=e^{2x}x$

$e^{2x}y=\frac{e^{2x}x}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=e^{2x}$, $b=-1$ e $c=4$

$e^{2x}y=\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=e^{2x}x$, $b=1$ e $c=2$

$e^{2x}y=\frac{1e^{2x}x}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=e^{2x}x$

$e^{2x}y=\frac{e^{2x}x}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Aplicamos a regra: $a^nx=b$$\to x=a^{-n}b$, onde $a^n=e^{2x}$, $a=e$, $b=\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0$, $x=y$, $a^nx=b=e^{2x}y=\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0$, $a^nx=e^{2x}y$ e $n=2x$

$y=e^{-2x}\left(\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0\right)$
10

Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$

$y=e^{-2x}\left(\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0\right)$

Resposta final para o problema

$y=e^{-2x}\left(\frac{e^{2x}x}{2}+\frac{-e^{2x}}{4}+C_0\right)$

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Exercícios Populares Resolvidos

Problemas mais populares resolvidos com esta calculadora:

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