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Calculadora de Equação Diferencial Linear

Resolva seus problemas de matemática com nossa calculadora de Equação Diferencial Linear passo a passo. Melhore suas habilidades matemáticas com nossa extensa lista de problemas difíceis. Encontre todas as nossas calculadoras aqui.

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atanh
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asech
acsch

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Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de equação diferencial linear. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:

$x\frac{dy}{dx}-4y=x^6e^x$
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Divida todos os termos da equação diferencial por $x$

$\frac{x}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{-4y}{x}=\frac{x^6e^x}{x}$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{a}$$=1$, onde $a/a=\frac{x^6e^x}{x}$

$1\left(\frac{dy}{dx}\right)$

Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}$

Aplicamos a regra: $1x$$=x$, onde $x=\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}+\frac{-4y}{x}=\frac{x^6e^x}{x}$

Aplicamos a regra: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, onde $a^n/a=\frac{x^6e^x}{x}$, $a^n=x^6$, $a=x$ e $n=6$

$\frac{dy}{dx}+\frac{-4y}{x}=x^{5}e^x$
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Simplificando

$\frac{dy}{dx}+\frac{-4y}{x}=x^{5}e^x$
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Podemos perceber que a equação diferencial tem a forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, então podemos classificá-la em uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde $P(x)=\frac{-4}{x}$ e $Q(x)=x^{5}e^x$. Para resolver esta equação diferencial, o primeiro passo é encontrar o fator integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$

Calcule a integral

$\int\frac{-4}{x}dx$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=-4$

$-4\ln\left|x\right|$
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Para encontrar $\mu(x)$, primeiro precisamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{-4}{x}dx=-4\ln\left|x\right|$

Aplicamos a regra: $e^{a\ln\left(b\right)}$$=b^a$, onde $a=-4$, $b=x$ e $2.718281828459045=e$

$x^{-4}$
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Portanto, o fator integrador $\mu(x)$ é

$\mu(x)=x^{-4}$

Aplicamos a regra: $x^mx^n$$=x^{\left(m+n\right)}$, onde $m=5$ e $n=-4$

$\frac{dy}{dx}x^{-4}+\frac{-4y}{x}x^{-4}=xe^x$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=x^{-4}$, $b=-4y$ e $c=x$

$\frac{dy}{dx}x^{-4}+\frac{-4yx^{-4}}{x}=xe^x$

Aplicamos a regra: $\frac{a^n}{a}$$=a^{\left(n-1\right)}$, onde $a^n/a=\frac{-4yx^{-4}}{x}$, $a^n=x^{-4}$, $a=x$ e $n=-4$

$\frac{dy}{dx}x^{-4}-4yx^{-5}=xe^x$
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Agora, multiplicamos todos os termos da equação diferencial pelo fator integrante $\mu(x)$ e verificamos se podemos simplificar

$\frac{dy}{dx}x^{-4}-4yx^{-5}=xe^x$
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Podemos reconhecer que o lado esquerdo da equação diferencial consiste na derivada do produto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^{-4}y\right)=xe^x$
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Integre ambos os lados da equação diferencial em relação a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^{-4}y\right)dx=\int xe^xdx$
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Simplifique o lado esquerdo da equação diferencial

$x^{-4}y=\int xe^xdx$

Podemos resolver a integral $\int xe^xdx$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$

A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^xdx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^xdx}\end{matrix}$

Calcule a integral para encontrar $v$

$v=\int e^xdx$

Aplicamos a regra: $\int e^xdx$$=e^x+C$

$e^x$

Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral

$e^x\cdot x-\int e^xdx$

Aplicamos a regra: $\int e^xdx$$=e^x+C$

$e^x\cdot x-e^x$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$e^x\cdot x-e^x+C_0$
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Resolva a integral $\int xe^xdx$ e substitua o resultado na equação diferencial

$x^{-4}y=e^x\cdot x-e^x+C_0$

Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$

$\frac{1}{x^{\left|-4\right|}}y$

Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}$$=\frac{ba}{c}$, onde $a=y$, $b=1$ e $c=x^{\left|-4\right|}$

$\frac{y}{x^{\left|-4\right|}}$
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Aplicamos a regra: $x^a$$=\frac{1}{x^{\left|a\right|}}$

$\frac{1}{x^{4}}y=e^x\cdot x-e^x+C_0$
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Aplicamos a regra: $a\frac{1}{x}$$=\frac{a}{x}$

$\frac{y}{x^{4}}=e^x\cdot x-e^x+C_0$

Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}=c$$\to a=cb$, onde $a=y$, $b=x^{4}$ e $c=e^x\cdot x-e^x+C_0$

$y=\left(e^x\cdot x-e^x+C_0\right)x^{4}$
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Encontre a solução explícita para a equação diferencial. Precisamos limpar a variável $y$

$y=\left(e^x\cdot x-e^x+C_0\right)x^{4}$

Resposta final para o problema

$y=\left(e^x\cdot x-e^x+C_0\right)x^{4}$

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