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Calculadora de Eliminação Gaussiana

Resolva seus problemas de matemática com nossa calculadora de Eliminação Gaussiana passo a passo. Melhore suas habilidades matemáticas com nossa extensa lista de problemas difíceis. Encontre todas as nossas calculadoras aqui.

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asinh
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atanh
acoth
asech
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Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de eliminação gaussiana. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:

$\frac{dy}{dx}=y^2-4$
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Agrupe os termos da equação diferencial. Mova os termos da variável $y$ para o lado esquerdo e os termos da variável $x$ para o lado direito da igualdade

$\frac{1}{y^2-4}dy=dx$
3

Aplicamos a regra: $b\cdot dy=dx$$\to \int bdy=\int1dx$, onde $b=\frac{1}{y^2-4}$

$\int\frac{1}{y^2-4}dy=\int1dx$

Reescreva a expressão $\frac{1}{y^2-4}$ que está dentro da integral na forma fatorada

$\int\frac{1}{\left(y+2\right)\left(y-2\right)}dy$

Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{\left(y+2\right)\left(y-2\right)}$ em $2$ frações mais simples

$\frac{1}{\left(y+2\right)\left(y-2\right)}=\frac{A}{y+2}+\frac{B}{y-2}$

Precisamos encontrar os valores dos coeficientes $A, B$ para que a igualdade seja válida. O primeiro passo é se livrar do denominador multiplicando ambos os lados da equação da etapa anterior por $\left(y+2\right)\left(y-2\right)$

$1=\left(y+2\right)\left(y-2\right)\left(\frac{A}{y+2}+\frac{B}{y-2}\right)$

Multiplicando polinômios

$1=\frac{\left(y+2\right)\left(y-2\right)A}{y+2}+\frac{\left(y+2\right)\left(y-2\right)B}{y-2}$

Simplificando

$1=\left(y-2\right)A+\left(y+2\right)B$

Atribuindo valores a $y$ obtemos o seguinte sistema de equações

$\begin{matrix}1=-4A&\:\:\:\:\:\:\:(y=-2) \\ 1=4B&\:\:\:\:\:\:\:(y=2)\end{matrix}$

Prosseguimos para resolver o sistema de equações lineares

$\begin{matrix} -4A & + & 0B & =1 \\ 0A & + & 4B & =1\end{matrix}$

Reescrevemos os coeficientes em forma de matriz

$\left(\begin{matrix}-4 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1\end{matrix}\right)$

Reduzimos a matriz original a uma matriz identidade usando o método de eliminação de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & -\frac{1}{4} \\ 0 & 1 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right)$

A integral de $\frac{1}{\left(y+2\right)\left(y-2\right)}$ na forma decomposta é equivalente a

$\int\left(\frac{-1}{4\left(y+2\right)}+\frac{1}{4\left(y-2\right)}\right)dy$

Expanda a integral $\int\left(\frac{-1}{4\left(y+2\right)}+\frac{1}{4\left(y-2\right)}\right)dy$ em $2$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente

$\int\frac{-1}{4\left(y+2\right)}dy+\int\frac{1}{4\left(y-2\right)}dy$

Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=-1$, $b=y+2$ e $c=4$

$\frac{1}{4}\int\frac{-1}{y+2}dy+\int\frac{1}{4\left(y-2\right)}dy$

Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=1$, $b=y-2$ e $c=4$

$\frac{1}{4}\int\frac{-1}{y+2}dy+\frac{1}{4}\int\frac{1}{y-2}dy$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, onde $b=2$, $x=y$ e $n=-1$

$-\frac{1}{4}\ln\left|y+2\right|+\frac{1}{4}\int\frac{1}{y-2}dy$

Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, onde $b=-2$, $x=y$ e $n=1$

$-\frac{1}{4}\ln\left|y+2\right|+\frac{1}{4}\ln\left|y-2\right|$
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Resolva a integral $\int\frac{1}{y^2-4}dy$ e substitua o resultado na equação diferencial

$-\frac{1}{4}\ln\left|y+2\right|+\frac{1}{4}\ln\left|y-2\right|=\int1dx$

Aplicamos a regra: $\int cdx$$=cvar+C$, onde $c=1$

$x$

Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$

$x+C_0$
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Resolva a integral $\int1dx$ e substitua o resultado na equação diferencial

$-\frac{1}{4}\ln\left|y+2\right|+\frac{1}{4}\ln\left|y-2\right|=x+C_0$

Resposta final para o problema

$-\frac{1}{4}\ln\left|y+2\right|+\frac{1}{4}\ln\left|y-2\right|=x+C_0$

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