Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de eliminação gaussiana. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Aplicamos a regra: $\int\frac{a}{bc}dx$$=\frac{1}{c}\int\frac{a}{b}dx$, onde $a=1$, $b=x^2\left(x-1\right)$ e $c=2$
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{x^2\left(x-1\right)}$ em $3$ frações mais simples
Precisamos encontrar os valores dos coeficientes $A, B, C$ para que a igualdade seja válida. O primeiro passo é se livrar do denominador multiplicando ambos os lados da equação da etapa anterior por $x^2\left(x-1\right)$
Multiplicando polinômios
Simplificando
Atribuindo valores a $x$ obtemos o seguinte sistema de equações
Prosseguimos para resolver o sistema de equações lineares
Reescrevemos os coeficientes em forma de matriz
Reduzimos a matriz original a uma matriz identidade usando o método de eliminação de Gauss-Jordan
A integral de $\frac{1}{x^2\left(x-1\right)}$ na forma decomposta é equivalente a
Use o método de decomposição de frações parciais para decompor a fração $\frac{1}{x^2\left(x-1\right)}$ em $3$ frações mais simples
Expanda a integral $\int\left(\frac{-1}{x^2}+\frac{1}{x-1}+\frac{-1}{x}\right)dx$ em $3$ integrais usando a regra da integral de uma soma de funções e, em seguida, resolva cada integral separadamente
Podemos resolver a integral $\int\frac{1}{x-1}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $x-1$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Diferencie ambos os lados da equação $u=x-1$
Encontre a derivada
A derivada da soma de duas ou mais funções é equivalente à soma das derivadas de cada função separadamente
Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos
Aplicamos a regra: $\frac{a}{x^b}$$=ax^{-b}$, onde $a=-1$ e $b=2$
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=-1$ e $x=x^{-2}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=-\left(\frac{1}{2}\right)\int x^{-2}dx$
Aplicamos a regra: $\int x^ndx$$=\frac{x^{\left(n+1\right)}}{n+1}+C$, onde $n=-2$
Simplificamos a expressão
A integral $\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x^2}dx$ resulta em: $\frac{1}{2x}$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $x=u$ e $n=1$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $x-1$
A integral $\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}du$ resulta em: $\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|$
Aplicamos a regra: $\int\frac{n}{x}dx$$=n\ln\left(x\right)+C$, onde $n=-1$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}c$$=\frac{ca}{b}$, onde $a=1$, $b=2$, $c=-1$, $a/b=\frac{1}{2}$ e $ca/b=-\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left(x\right)$
A integral $\frac{1}{2}\int\frac{-1}{x}dx$ resulta em: $-\frac{1}{2}\ln\left|x\right|$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Colocamos os limites iniciais de integração
Aplicamos a regra: $\left[x\right]_{a}^{b}$$=\lim_{c\to a}\left(\left[x\right]_{c}^{b}\right)+C$, onde $a=- \infty $, $b=\infty $ e $x=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)-\frac{1}{2}\ln\left(x\right)$
Aplicamos a regra: $\left[x\right]_{a}^{b}$$=eval\left(x,b\right)-eval\left(x,a\right)+C$, onde $a=c$, $b=\infty $ e $x=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)-\frac{1}{2}\ln\left(x\right)$
Aplicamos a regra: $\ln\left(\infty \right)$$=\infty $
Aplicamos a regra: $\infty x$$=\infty sign\left(x\right)$, onde $x=2$
Aplicamos a regra: $\infty x$$=\infty sign\left(x\right)$, onde $x=-\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $a+x$$=\infty sign\left(a\right)$
Aplicamos a regra: $\ln\left(\infty \right)$$=\infty $
Aplicamos a regra: $\infty x$$=\infty sign\left(x\right)$, onde $x=\frac{1}{2}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}$$=0$
Aplicamos a regra: $\infty - \infty $=indeterminado
Avalie os limites resultantes da integral
Quando os limites da integral não existem, diz-se que a integral é divergente
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Problemas mais populares resolvidos com esta calculadora: