Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de derivada de funções logarítmicas. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Aplicamos a regra: $\lim_{x\to c}\left(a^b\right)$$=\lim_{x\to c}\left(e^{b\ln\left(a\right)}\right)$, onde $a=x$, $b=x$ e $c=0$
Aplicamos a regra: $\lim_{x\to c}\left(a^b\right)$$={\left(\lim_{x\to c}\left(a\right)\right)}^{\lim_{x\to c}\left(b\right)}$, onde $a=e$, $b=x\ln\left(x\right)$ e $c=0$
Aplicamos a regra: $\lim_{x\to c}\left(a\right)$$=a$, onde $a=e$ e $c=0$
Reescreva o produto dentro do limite como uma fração
Insira o valor $0$ no limite
Aplicamos a regra: $\ln\left(0\right)$$=- \infty $
Aplicamos a regra: $\frac{x}{0}$$=\infty sign\left(x\right)$, onde $x=1$
Se avaliarmos diretamente o limite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\ln\left(x\right)}{\frac{1}{x}}\right)$ como $x$ tende a $0$, podemos ver que isso resulta em uma forma indeterminada
Podemos resolver este limite aplicando a regra de L'Hôpital, que consiste em determinar a derivada do numerador e do denominador separadamente
Encontre a derivada do numerador
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x\right)\right)$$=\frac{1}{x}$
Encontre a derivada do denominador
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(\frac{a}{b}\right)$$=\frac{\frac{d}{dx}\left(a\right)b-a\frac{d}{dx}\left(b\right)}{b^2}$, onde $a=1$ e $b=x$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(c\right)$$=0$, onde $c=1$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Aplicamos a regra: $x+0$$=x$, onde $x=-1$
Aplicamos a regra: $\frac{\frac{a}{b}}{c}$$=\frac{a}{bc}$, onde $a=1$, $b=x$, $c=\frac{-1}{x^2}$, $a/b/c=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}$ e $a/b=\frac{1}{x}$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{a^n}$$=\frac{1}{a^{\left(n-1\right)}}$, onde $a=x$ e $n=2$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{\frac{b}{c}}$$=\frac{ac}{b}$, onde $a=1$, $b=-1$, $c=x$, $a/b/c=\frac{1}{\frac{-1}{x}}$ e $b/c=\frac{-1}{x}$
Depois de diferenciar o numerador e o denominador, o limite resulta em
Aplicamos a regra: $\lim_{x\to c}\left(ab\right)$$=a\lim_{x\to c}\left(b\right)$, onde $a=-1$, $b=x$ e $c=0$
Avalie o limite substituindo todas as ocorrências de $\lim_{x\to0}\left(x\right)$ por $x$
Avalie o limite substituindo todas as ocorrências de $\lim_{x\to0}\left(x\right)$ por $x$
Aplicamos a regra: $ab$$=ab$, onde $ab=- 0$, $a=-1$ e $b=0$
Aplicamos a regra: $a^b$$=a^b$, onde $a=e$, $b=0$ e $a^b=e^{0}$
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