Aqui apresentamos um exemplo resolvido passo a passo de cálculo. Esta solução foi gerada automaticamente pela nossa calculadora inteligente:
Podemos resolver a integral $\int xe^{2x}dx$ aplicando o método de integração por partes para calcular a integral do produto de duas funções, usando a seguinte fórmula
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Primeiro, identificamos $u$ e calculamos $du$
A seguir, identificamos $dv$ e calculamos $v$
Calcule a integral para encontrar $v$
Podemos resolver a integral $\int e^{2x}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Diferencie ambos os lados da equação $u=2x$
Encontre a derivada
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(nx\right)$$=n\frac{d}{dx}\left(x\right)$, onde $n=2$
Aplicamos a regra: $\frac{d}{dx}\left(x\right)$$=1$
Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Aplicamos a regra: $a=b$$\to b=a$, onde $a=du$ e $b=2dx$
Aplicamos a regra: $ax=b$$\to x=\frac{b}{a}$, onde $a=2$, $b=du$ e $x=dx$
Resolvendo $dx$ da equação anterior
Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos
Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=2$ e $x=e^u$
Aplicamos a regra: $\int e^xdx$$=e^x+C$, onde $x=u$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$
Aplicamos a regra: $\int cxdx$$=c\int xdx$, onde $c=\frac{1}{2}$ e $x=e^{2x}$
Aplicamos a regra: $a\frac{b}{c}\int xdx$$=\frac{ba}{c}\int xdx$, onde $a=-1$, $b=1$, $c=2$ e $x=e^{2x}$
Com os valores obtidos, substituímos $u$, $du$ e $v$ na fórmula geral
Podemos resolver a integral $\int e^{2x}dx$ aplicando o método de integração por substituição ou mudança de variável. Primeiro, devemos identificar uma seção dentro da integral com uma nova variável (vamos chamá-la de $u$), que, quando substituída, torna a expressão dentro da integral mais simples. Podemos ver que $2x$ é um bom candidato para ser substituído. A seguir, vamos definir a variável $u$ e atribuir a ela o candidato
Agora, para reescrever $dx$ em termos de $du$, precisamos encontrar a derivada de $u$. Portanto, precisamos calcular $du$, podemos fazer isso derivando a equação da etapa anterior
Resolvendo $dx$ da equação anterior
Substituímos $u$ e $dx$ na integral e depois simplificamos
Aplicamos a regra: $\int\frac{x}{c}dx$$=\frac{1}{c}\int xdx$, onde $c=2$ e $x=e^u$
Aplicamos a regra: $\frac{a}{b}\frac{c}{f}$$=\frac{ac}{bf}$, onde $a=-1$, $b=2$, $c=1$, $a/b=-\frac{1}{2}$, $f=2$, $c/f=\frac{1}{2}$ e $a/bc/f=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int e^udu$
Aplicamos a regra: $\int e^xdx$$=e^x+C$, onde $x=u$
Substitua $u$ pelo valor que foi originalmente atribuído na substituição: $2x$
A integral $-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx$ resulta em: $-\frac{1}{4}e^{2x}$
Depois de juntar os resultados de todas as integrais individuais, obtemos
Como a integral que estamos resolvendo é uma integral indefinida, quando terminarmos de integrar devemos somar a constante de integração $C$
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